lim x 3 x^3-6 x-9x^3-8 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que encontrar o valor de . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como factorizar expressões polinomiais e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^3 - 6 times 3 - 93^3 - 8 times 3 - 3 = 27 - 18 - 927 - 24 - 3 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Esse resultado é uma indeterminação ( ), o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Começando pelo numerador 3^3 - 6 times 3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0 , vamos tentar encontrar um fator comum. Testando x^3 - 6x - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3) :
x^3 - 8x - 3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 1)
Então, é um fator do numerador. Dividindo por , obtemos:
Fazendo o mesmo para o denominador , encontramos que também é um fator:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a expressão original cancelando o fator (x - 3)(x^2 + 3x + 3)(x - 3)(x^2 + 3x + 1) = x^2 + 3x + 3x^2 + 3x + 1 :
3^2 + 3 times 3 + 33^2 + 3 times 3 + 1 = 9 + 9 + 39 + 9 + 1 = 2119
Com a expressão simplificada, substituímos :

Resposta

O limite é .

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