lim x 0 e^8 x-1e^2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está trabalhando com o conceito de limites em funções exponenciais. Para resolver, a gente vai precisar saber como manipular expressões envolvendo exponenciais e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando e^8x approx 1 + 8x se aproxima de 0 nas funções do numerador e denominador.
Quando e^2x approx 1 + 2x ,
e
Isso porque, para valores pequenos de , a expressão pode ser aproximada pela série de Taylor .

Passo 3

Substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
e^8x - 1e^2x - 1 approx (1 + 8x) - 1(1 + 2x) - 1 = 8x2x

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
8x2x = 82 = 4

Resposta

Portanto, o valor do limite é 4.

Exercícios relacionados

lim x 0 e^4 x-1x
lim x 0 sen(10 x)e^x x-1
lim x 0 sen(x)4 x
lim x 0 sen(6 x)6 x