lim x 1 x^3 / 2-1raizx-1

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 1 x^3 / 2-1raizx-1. Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem potências fracionárias. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital ou manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na expressão:
1^3/2 - 1raiz1 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos de outra estratégia para resolver o limite.

Passo 3

Uma forma de resolver limites que resultam em indeterminação é usar a Regra de L’Hospital, que afirma que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite do lado direito exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador f(x) = x^3/2:
f'(x) = 32x^1/2
  • Derivada do denominador g(x) = raizx:
g'(x) = 12x^-1/2

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
limx to 1 32x^1/212x^-1/2 = limx to 1 3x^1/2x^-1/2 = limx to 1 3x^1/2 cdot x^1/2 = limx to 1 3x = 3 times 1 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

Exercícios relacionados