lim x infty exp (x^2+2 x+32 x^2+x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a fração dentro da exponencial quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos focar somente na fração dentro da exponencial: x^2 + 2x + 32x^2 + x - 1 = 1 + 2x + 3x^22 + 1x - 1x^2 . Quando cresce muito, os termos de maior grau (que aqui são ) dominam o comportamento da função. Então, para simplificar, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior termo de , que é :

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1 + 0 + 02 + 0 - 0 = 12 tende ao infinito. Os termos , , e vão tendendo a zero, porque estamos dividindo por números cada vez maiores. Assim, a fração simplifica para:

Passo 4

Então, agora sabemos que dentro da exponencial, a expressão está se aproximando de limx infty exp(x^2 + 2x + 32x^2 + x - 1) = exp(12) quando vai para o infinito. Portanto, o limite da exponencial fica:

Passo 5

Finalmente, podemos calcular o valor de exp(12) = e^12 approx 1,64872 . Sabemos que é igual a , onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Então:

Resposta

O limite é , ou aproximadamente 1,64872.

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