Seja a função
f(x)=raiz2 x(x-1)|x-1|
determine os seguintes limites:
lim x 1^+ f(x) e lim x 1^- f(x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de limites envolvendo funções com valores absolutos e raízes. Precisamos encontrar os limites da função quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Para isso, vamos revisar conceitos de limites laterais, propriedades de valores absolutos e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela está definida como uma fração onde o numerador é e o denominador é . O valor absoluto, , garante que o denominador seja sempre positivo ou zero, mas como estamos procurando limites, vamos considerar valores próximos a 1, onde .

Passo 3

Vamos simplificar a função f(x) = raiz2x(x-1)|x-1| = raiz2x cdot x-1|x-1| . Observamos que tanto o numerador quanto o denominador contêm o termo . Podemos reescrever a função da seguinte forma:
Aqui, a fração depende do sinal de .

Passo 4

Vamos analisar o termo para valores de próximos a 1 pela direita e pela esquerda:
  • Quando : , então . Portanto, .
  • Quando : , então . Portanto, .

Passo 5

Agora, substituímos essas informações na função simplificada:
  • Para f(x) = raiz2x cdot 1 = raiz2x :
lim x 1^+ raiz2x = raiz2 cdot 1 = raiz2
Calculamos o limite:
f(x) = raiz2x cdot (-1) = -raiz2x
  • Para lim x 1^- -raiz2x = -raiz2 cdot 1 = -raiz2 :
Calculamos o limite:

Resposta

Os limites são:
lim x 1^+ f(x) = raiz2 e lim x 1^- f(x) = -raiz2

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