lim x infty[e^x(1+1e^x)]^x^-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em limites de funções. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que e^x(1 + e^-x) = e^x + 1 pode ser reescrito como:
limx to infty (e^x + 1)^1x
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de e^x + 1 approx e^x quando limx to infty (e^x)^1x tende ao infinito. Sabemos que, para valores grandes de , cresce muito rapidamente, tornando desprezível em comparação. Portanto:
Assim, a expressão do limite simplifica para:

Passo 4

Vamos simplificar (e^x)^1x = e^x cdot 1x = e^1 = e . Usando a propriedade das potências , temos:

Passo 5

Por fim, como o termo e que ignoramos inicialmente se torna insignificante no limite, nossa aproximação está correta. Portanto, o limite é simplesmente:

Resposta

lim x infty[e^x(1+1e^x)]^x^-1 = e

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