lim x 0(1x^2-1x tg(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor da função tangente e propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a manipulação:
1x^2 - 1x tan(x) = 1x^2 - 1x cdot tan(x)
Para combinar esses termos, vamos encontrar um denominador comum.

Passo 3

Sabemos que tan(x) = x + x^33 + 2x^515 + dots pode ser expandida em uma série de Taylor próxima a :
Para simplificar, vamos usar apenas os dois primeiros termos dessa expansão, já que estamos considerando o limite quando tende a 0.

Passo 4

Substituindo a expansão de 1x^2 - 1x (x + x^33) = 1x^2 - 1x^2 (1 + x^23) na nossa expressão:
1x^2 (1 - 11 + x^23)
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, usamos a expansão 11 + x^23 approx 1 - x^23 para 1x^2 (1 - (1 - x^23)) = 1x^2 cdot x^23 = 13 pequeno:
Substituindo de volta:

Resposta

O limite é igual a .

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