Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo
quando
e
tendem a 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a base e o expoente quando
se aproxima de 0. Sabemos que
pode ser expandido em série de Taylor:
Então, somando
, temos:
Passo 3
Agora, nossa expressão fica:
Perceba que, quando
, a base se aproxima de 1 e o expoente de 0, formando uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural para simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos expandir
usando a série de Taylor do logaritmo natural:
Aqui,
. Substituindo, temos:
Passo 5
Voltando à expressão do logaritmo:
Quando
, tanto
quanto
tendem a 0, então:
Passo 6
Lembremos que encontramos o limite do logaritmo da nossa expressão original. Então, para encontrar o limite original, aplicamos a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a
.