lim x 0(e^2 x+2 x)^4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0(e^2 x+2 x)^4 x. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo (1 + f(x))^g(x) quando f(x) e g(x) tendem a 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a base e o expoente quando x se aproxima de 0. Sabemos que e^2x pode ser expandido em série de Taylor:
e^2x = 1 + 2x + 2x^2 + O(x^3)
Então, somando 2x, temos:
e^2x + 2x = 1 + 4x + 2x^2 + O(x^3)

Passo 3

Agora, nossa expressão fica:
(1 + 4x + 2x^2 + O(x^3))^4x
Perceba que, quando x 0, a base se aproxima de 1 e o expoente de 0, formando uma indeterminação do tipo 1^0. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural para simplificar:
ln((1 + 4x + 2x^2)^4x) = 4x cdot ln(1 + 4x + 2x^2)

Passo 4

Agora, precisamos expandir ln(1 + 4x + 2x^2) usando a série de Taylor do logaritmo natural:
ln(1 + y) approx y - y^22 + y^33 - dots
Aqui, y = 4x + 2x^2. Substituindo, temos:
ln(1 + 4x + 2x^2) approx 4x + 2x^2 - (4x)^22 = 4x + 2x^2 - 8x^2 = 4x - 6x^2

Passo 5

Voltando à expressão do logaritmo:
4x cdot ln(1 + 4x + 2x^2) approx 4x cdot (4x - 6x^2) = 16x^2 - 24x^3
Quando x 0, tanto 16x^2 quanto 24x^3 tendem a 0, então:
limx 0 (16x^2 - 24x^3) = 0

Passo 6

Lembremos que encontramos o limite do logaritmo da nossa expressão original. Então, para encontrar o limite original, aplicamos a função exponencial:
limx 0 (e^2x + 2x)^4x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados