lim x 0 x^2+2 x-8x-2.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 x^2+2 x-8x-2. Esse exercício envolve o estudo de limites em funções racionais. Para resolver, precisamos entender como simplificar a expressão e calcular o valor à medida que se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão do numerador: . Podemos tentar fatorar esse polinômio para simplificar a fração.

Passo 3

Para fatorar , buscamos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão 2. Infelizmente, não há números inteiros que satisfaçam essa condição, então vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.

Passo 4

A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde , e .

Passo 5

Calculando o discriminante:
De

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
x = -2 pm raiz362 times 1 = -2 pm 62
Isso nos dá duas raízes:
x = -2 + 62 = 2 e x = -2 - 62 = -4

Passo 7

Então, o numerador pode ser escrito como:
x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
(x - 2)(x + 4)x - 2
Observamos que aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar, desde que .

Passo 9

Após simplificar, a expressão fica:
x + 4

Passo 10

Agora, calculamos o limite quando lim x 0 (x + 4) = 0 + 4 = 4 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a 4.

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