.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites em funções racionais. Para resolver, precisamos entender como simplificar a expressão e calcular o valor à medida que
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão do numerador:
. Podemos tentar fatorar esse polinômio para simplificar a fração.
Passo 3
Para fatorar
, buscamos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão 2. Infelizmente, não há números inteiros que satisfaçam essa condição, então vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.
Passo 4
A fórmula de Bhaskara é:
onde
,
e
.
Passo 5
Calculando o discriminante:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores na fórmula:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 7
Então, o numerador pode ser escrito como:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão original:
Observamos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar, desde que
.
Passo 9
Após simplificar, a expressão fica:
Passo 10
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é igual a 4.