lim x -1 x^2+3 x+2x^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função quando lim x -1 x^2+3 x+2x^2-1 se aproxima de . A função é uma fração polinomial:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra, especialmente fatoração de polinômios e simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 diretamente na função para ver o que acontece:
No numerador:
(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
No denominador:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Fatorando o numerador x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) :
x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
Fatorando o denominador :

Passo 4

Agora que fatoramos, a fração fica assim:
(x + 1)(x + 2)(x + 1)(x - 1)
A gente vê que x + 2x - 1 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que ):

Passo 5

Com a função simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo -1 + 2-1 - 1 = 1-2 = -12 :

Resposta

O limite é .

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