lim x 1 / 2 1-2 raizxraizx-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de da função . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, especialmente sobre simplificação de expressões que resultam em formas indeterminadas.

Passo 2

Vamos substituir 1 - 2raiz12raiz12 - 1 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
raiz12 = raiz22
Calculando a raiz quadrada de 1 - 2 cdot raiz22raiz22 - 1 = 1 - raiz2raiz22 - 1 :
Substituindo de volta:

Passo 3

Percebemos que a substituição direta não simplifica muito a expressão e pode levar a uma forma indeterminada como 1 - 2raizxraizx - 1 times raizx + 1raizx + 1 = (1 - 2raizx)(raizx + 1)(raizx - 1)(raizx + 1) . Para resolver isso, vamos racionalizar o numerador ou o denominador. Vamos optar por multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para simplificar.
O denominador é , então seu conjugado é . Vamos multiplicar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador usando a diferença de quadrados:
(raizx - 1)(raizx + 1) = (raizx)^2 - (1)^2 = x - 1
Então, nossa expressão fica:
(1 - 2raizx)(raizx + 1)x - 1

Passo 5

Vamos agora expandir o numerador:
(1 - 2raizx)(raizx + 1) = 1 cdot raizx + 1 cdot 1 - 2raizx cdot raizx - 2raizx cdot 1 = raizx + 1 - 2x - 2raizx
Simplificando:
raizx - 2raizx + 1 - 2x = -raizx + 1 - 2x

Passo 6

Agora, nossa expressão é:
-raizx + 1 - 2xx - 1
Podemos rearranjar os termos no numerador:
1 - raizx - 2xx - 1 = -(raizx + 2x - 1)x - 1
Isso pode ser escrito como:
- raizx + 2x - 1x - 1

Passo 7

Agora, tentamos novamente substituir - raiz12 + 2 cdot 12 - 112 - 1 = - raiz22 + 1 - 1- 12 = - raiz22 - 12 = - ( raiz22 - 12 ) :
- ( raiz22 times -21 ) = - ( -raiz2 ) = raiz2
Simplificando as frações:

Resposta

O limite é .

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