lim x 2(x^3-x-2tg(x-2)-cos (x-2))

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o conceito de limites em Cálculo, e vamos precisar usar aproximações de funções trigonométricas e polinomiais para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos definir lim y 0((2 + y)^3-ytg(y)-cos (y)) . Assim, quando se aproxima de 2, se aproxima de 0. Substituindo na expressão original:

Passo 3

Vamos expandir o termo (2 + y)^3 = 8 + 12y + 6y^2 + y^3 usando a fórmula do binômio:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração ytg(y) approx yy + y^33 = 11 + y^23 approx 1 - y^23 . Sabemos que para próximo de 0, . Portanto:

Passo 5

Vamos também aproximar o termo cos(y) approx 1 - y^22 para valores de próximos de 0. A expansão de Taylor para é:

Passo 6

Substituindo todas as aproximações na expressão original:
8 + 12y + 6y^2 + y^3 - (1 - y^23) - (1 - y^22)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
8 + 12y + 6y^2 + y^3 - 1 + y^23 - 1 + y^22
Somando constantes e termos semelhantes:
6 + 12y + (6y^2 + y^23 + y^22) + y^3

Passo 8

Calculando os coeficientes dos termos de 6y^2 + y^23 + y^22 = 6y^2 + 5y^26 = 41y^26 :
6 + 12y + 41y^26 + y^3
Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, vamos calcular o limite quando lim y 0 (6 + 12y + 41y^26 + y^3) = 6 tende a 0. Os termos que contêm e vão se tornar 0, deixando apenas o termo constante:

Resposta

O limite é igual a 6.

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