Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve o conceito de limites em Cálculo, e vamos precisar usar aproximações de funções trigonométricas e polinomiais para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos definir
. Assim, quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0. Substituindo na expressão original:
Passo 3
Vamos expandir o termo
usando a fórmula do binômio:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração
. Sabemos que para
próximo de 0,
. Portanto:
Passo 5
Vamos também aproximar o termo
para valores de
próximos de 0. A expansão de Taylor para
é:
Passo 6
Substituindo todas as aproximações na expressão original:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Somando constantes e termos semelhantes:
Passo 8
Calculando os coeficientes dos termos de
:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0. Os termos que contêm
e
vão se tornar 0, deixando apenas o termo constante:
Resposta
O limite é igual a 6.