lim x 0(x^2-4x^2-tg(pi x4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite quando limx 0(x^2-4x^2 - tan(pi x4)) se aproxima de 0 da expressão:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre limites e como se comportam funções racionais e trigonométricas perto de certos pontos. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a expressão em duas partes para facilitar:
x^2-4x^2 e tan(pi x4)
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte:
x^2-4x^2
Podemos separar essa fração em duas partes:
x^2x^2 - 4x^2 = 1 - 4x^2
Agora, observamos o comportamento de cada termo quando se aproxima de 0.

Passo 4

Quando 1 - 4x^2 1 - (+infty) = -infty se aproxima de 0, tende a porque estamos dividindo um número positivo por um número muito pequeno ao quadrado. Então:
Isso significa que a primeira parte da expressão tende a .

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda parte:
tan(pi x4)
Sabemos que, para valores de tan(pi x4) approx pi x4 próximos de 0, . Isso é uma aproximação útil quando é pequeno. Nesse caso, , que também se aproxima de 0 quando se aproxima de 0.
Portanto:

Passo 6

Como está se aproximando de 0, o termo também se aproxima de 0. Assim, a segunda parte da expressão está se aproximando de 0.

Resposta

Juntando tudo:
limx 0(x^2-4x^2 - tan(pi x4)) = -infty
Então, o limite é .

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