Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre limites e como se comportam funções racionais e trigonométricas perto de certos pontos. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a expressão em duas partes para facilitar:
Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Agora, observamos o comportamento de cada termo quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Quando
se aproxima de 0,
tende a
porque estamos dividindo um número positivo por um número muito pequeno ao quadrado. Então:
Isso significa que a primeira parte da expressão tende a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda parte:
Sabemos que, para valores de
próximos de 0,
. Isso é uma aproximação útil quando
é pequeno. Nesse caso,
, que também se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0.
Portanto:
Passo 6
Como
está se aproximando de 0, o termo
também se aproxima de 0. Assim, a segunda parte da expressão está se aproximando de 0.
Resposta
Juntando tudo:
Então, o limite é
.