Passo 1
Beleza! Vamos resolver o limite
. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites e vamos precisar entender um pouco sobre as funções logarítmicas e trigonométricas, além de como elas se comportam quando a variável se aproxima de um valor específico. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
e
quando
se aproxima de
. Sabemos que, para valores bem pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Isso porque, quando
está perto de zero, o gráfico da função seno é quase uma reta que passa pela origem com inclinação 1.
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Usando uma propriedade dos logaritmos, podemos separar o logaritmo do produto:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, precisamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
. Sabemos que, conforme
se aproxima de zero pelo lado positivo,
tende a
. Então:
Portanto:
Resposta
O limite é igual a 1.