lim x 0^+ ln (sen 2 x)ln (sen x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite lim x 0^+ ln (sin 2x)ln (sin x). Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites e vamos precisar entender um pouco sobre as funções logarítmicas e trigonométricas, além de como elas se comportam quando a variável se aproxima de um valor específico. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com sin x e sin 2x quando x se aproxima de 0. Sabemos que, para valores bem pequenos de x, sin x é aproximadamente igual a x. Isso porque, quando x está perto de zero, o gráfico da função seno é quase uma reta que passa pela origem com inclinação 1.
Então, podemos escrever:
sin x approx x e sin 2x approx 2x

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
ln (sin 2x)ln (sin x) approx ln (2x)ln x

Passo 4

Vamos simplificar a expressão ln (2x)ln x. Usando uma propriedade dos logaritmos, podemos separar o logaritmo do produto:
ln (2x) = ln 2 + ln x
Então, a expressão fica:
ln 2 + ln xln x = ln xln x + ln 2ln x = 1 + ln 2ln x

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento de ln 2ln x quando x se aproxima de 0^+. Sabemos que, conforme x se aproxima de zero pelo lado positivo, ln x tende a -infty. Então:
ln 2ln x approx constante-infty approx 0
Portanto:
1 + ln 2ln x approx 1 + 0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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