lim x pi2[(pi-2 x) tg(x)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x pi2[(pi-2 x) tan(x)]. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da tangente próxima de pi2 e utilizar técnicas de algebra para manipular a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando x se aproxima de pi2.
  • O termo (pi - 2x):
    Quando x to pi2, substituindo temos:
    pi - 2 (pi2) = pi - pi = 0
    Então, esse termo tende a 0.
  • O termo tan(x):
    Sabemos que tan(pi2) não está definido no conjunto dos números reais porque o cosseno de pi2 é 0, e a tangente é sin(x)cos(x). Conforme x se aproxima de pi2, cos(x) tende a 0, fazendo com que tan(x) tenda ao infinito.
Portanto, temos um caso de indeterminação do tipo 0 cdot infty, que precisamos resolver de forma adequada.

Passo 3

Para lidar com a indeterminação 0 cdot infty, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hospital. Uma maneira de fazer isso é transformar o produto em uma fração. Vamos reescrever a expressão assim:
(pi - 2x) tan(x) = (pi - 2x)cot(x)
Sabendo que cot(x) = 1tan(x), essa transformação é válida. Agora, o limite fica na forma 00 quando x to pi2, permitindo o uso da regra de L’Hospital, que nos diz que:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite da direita exista.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital à nossa fração, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador (pi - 2x):
    ddx (pi - 2x) = -2
  • Derivada do denominador cot(x):
    Sabemos que ddx cot(x) = -csc^2(x)
Agora, aplicando a regra de L’Hospital:
limx to pi2 (pi - 2x)cot(x) = limx to pi2 -2- csc^2(x) = limx to pi2 -2-1/sin^2(x) = limx to pi2 2 sin^2(x)

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite de 2 sin^2(x) quando x to pi2. Sabemos que:
sin(pi2) = 1
Portanto:
limx to pi2 2 sin^2(x) = 2 (1)^2 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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