Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da tangente próxima de
e utilizar técnicas de algebra para manipular a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de
.
-
O termo
:
Quando, substituindo temos:
Então, esse termo tende a 0. -
O termo
:
Sabemos quenão está definido no conjunto dos números reais porque o cosseno de é 0, e a tangente é . Conforme se aproxima de , tende a 0, fazendo com que tenda ao infinito.
Portanto, temos um caso de indeterminação do tipo
, que precisamos resolver de forma adequada.
Passo 3
Para lidar com a indeterminação
, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hospital. Uma maneira de fazer isso é transformar o produto em uma fração. Vamos reescrever a expressão assim:
Sabendo que
, essa transformação é válida. Agora, o limite fica na forma
quando
, permitindo o uso da regra de L’Hospital, que nos diz que:
desde que o limite da direita exista.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hospital à nossa fração, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Sabemos que
Agora, aplicando a regra de L’Hospital:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
. Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.