PROBLEMA 1 - Ache a área da regiảo limitada pelas curvas dadas.
Faça o seguinte: © ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos identificar os pontos onde as curvas se interceptam e depois calcular a integral definida que nos dará a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema isolando
em uma das equações e substituindo na outra. Vamos isolar
na segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Assim, as soluções são
e
. Substituindo de volta em
, temos os pontos de interseção:
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual delas está acima da outra no intervalo de integração
a
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Aqui,
é maior que
. Portanto, a curva
está acima de
no intervalo de
a
.
Passo 4
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a integral definida da diferença das funções superiores e inferiores no intervalo determinado. A fórmula para a área
é:
Onde
(a curva de cima) e
(a curva de baixo), com
e
. Substituindo na fórmula:
Agora, aplicando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite calcular a integral definida encontrando uma primitiva da função e avaliando-a nos limites:
Portanto,
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.