PROBLEMA 1 - Ache a área da regiảo limitada pelas curvas dadas.
x^2 - y + 1 = 0 e x - y + 1 = 0
Faça o seguinte: © ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos identificar os pontos onde as curvas se interceptam e depois calcular a integral definida que nos dará a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema isolando em uma das equações e substituindo na outra. Vamos isolar na segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Assim, as soluções são e . Substituindo de volta em , temos os pontos de interseção: e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual delas está acima da outra no intervalo de integração a . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Para :
Aqui, é maior que . Portanto, a curva está acima de no intervalo de a .

Passo 4

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a integral definida da diferença das funções superiores e inferiores no intervalo determinado. A fórmula para a área é:
Onde (a curva de cima) e (a curva de baixo), com e . Substituindo na fórmula:
Agora, aplicando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite calcular a integral definida encontrando uma primitiva da função e avaliando-a nos limites:
Portanto,

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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