PROBLEMA 3- A região limitada pela curva
e pelas retas
gira em torno da reta
. Ache o volume do sólido gerado, tomando elementos de área retángulares, paralelos ao eixo de revoluçāo.
Passo 1
Beleza, então temos um problema onde precisamos encontrar o volume de um sólido formado ao girar uma região ao redor da reta
. A região é limitada pela curva
, pelas retas
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/aneles, que envolve integrar áreas circulares formadas pela rotação da região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva
e a reta
intersectam quando
, ou seja,
e
. Mas como estamos limitando também por
, nosso intervalo de integração será de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o raio de cada disco/anel formado pela rotação. O raio é a distância vertical entre a reta de rotação
e a função superior no intervalo considerado. Para a parte de
a
, a função superior é
. Para
a
, a função superior é
.
Passo 4
Vamos calcular o volume em duas partes devido às diferentes funções superiores:
-
De
a : - Raio
- Área do anel
- Raio
-
De
a : - Raio
- Área do anel
- Raio
Passo 5
Agora, integramos as áreas dos anéis sobre os intervalos correspondentes para encontrar os volumes:
-
Volume de
a : -
Volume de
a : Expandindo: Então:Calculando:
Resposta
O volume total do sólido gerado é
unidades cúbicas.