PROBLEMA 3- A região limitada pela curva y = x^2 e pelas retas y=1, x=2 gira em torno da reta y = -3. Ache o volume do sólido gerado, tomando elementos de área retángulares, paralelos ao eixo de revoluçāo.

Passo 1

Beleza, então temos um problema onde precisamos encontrar o volume de um sólido formado ao girar uma região ao redor da reta . A região é limitada pela curva , pelas retas e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/aneles, que envolve integrar áreas circulares formadas pela rotação da região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva e a reta intersectam quando , ou seja, e . Mas como estamos limitando também por , nosso intervalo de integração será de a .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o raio de cada disco/anel formado pela rotação. O raio é a distância vertical entre a reta de rotação e a função superior no intervalo considerado. Para a parte de a , a função superior é . Para a , a função superior é .

Passo 4

Vamos calcular o volume em duas partes devido às diferentes funções superiores:
  1. De a :
    • Raio
    • Área do anel
  2. De a :
    • Raio
    • Área do anel

Passo 5

Agora, integramos as áreas dos anéis sobre os intervalos correspondentes para encontrar os volumes:
  1. Volume de a :
  2. Volume de a :
    Expandindo :
    Então:
    Calculando:

Resposta

O volume total do sólido gerado é unidades cúbicas.

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