Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. Esse problema está dentro do estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como avaliar limites de funções racionais e verificar se a substituição direta do valor de funciona.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos um resultado definido:
Aqui, observamos que a divisão por zero ocorre, o que significa que a substituição direta não funciona e precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação como , uma boa estratégia é tentar simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Agora, a expressão fica:

Passo 4

Mesmo após a fatoração, ainda temos uma divisão por zero quando . Isso nos indica que o limite pode estar tendendo para infinito ou que o limite não existe. Para entender melhor o comportamento da função próximo a , vamos analisar os sinais:
  • Para próximo de 2 pela direita ( ):
    • Numerador:
    • Denominador: (porque é positivo)
    • Resultado:
  • Para próximo de 2 pela esquerda ( ):
    • Numerador:
    • Denominador: (porque é negativo)
    • Resultado:

Resposta

Como os limites laterais são diferentes (uma tendendo para e a outra para ), concluímos que o limite da função quando se aproxima de 2 não existe.

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