lim x 2+x 2+3 x x 2-4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite da função x^2 + 3xx^2 - 4 quando x se aproxima de 2. Esse problema está dentro do estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como avaliar limites de funções racionais e verificar se a substituição direta do valor de x funciona.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir diretamente x = 2 na expressão para ver se conseguimos um resultado definido:
(2)^2 + 3 cdot 2(2)^2 - 4 = 4 + 64 - 4 = 100
Aqui, observamos que a divisão por zero ocorre, o que significa que a substituição direta não funciona e precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação como 100, uma boa estratégia é tentar simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador e o denominador:
  • Numerador: x^2 + 3x = x(x + 3)
  • Denominador: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Agora, a expressão fica:
x(x + 3)(x - 2)(x + 2)

Passo 4

Mesmo após a fatoração, ainda temos uma divisão por zero quando x = 2. Isso nos indica que o limite pode estar tendendo para infinito ou que o limite não existe. Para entender melhor o comportamento da função próximo a x = 2, vamos analisar os sinais:
  • Para x próximo de 2 pela direita ( x to 2^+):
    • Numerador: x(x + 3) > 0
    • Denominador: (x - 2)(x + 2) > 0 (porque x - 2 é positivo)
    • Resultado: positivopositivo to +infty
  • Para x próximo de 2 pela esquerda ( x to 2^-):
    • Numerador: x(x + 3) > 0
    • Denominador: (x - 2)(x + 2) < 0 (porque x - 2 é negativo)
    • Resultado: positivonegativo to -infty

Resposta

Como os limites laterais são diferentes (uma tendendo para +infty e a outra para -infty), concluímos que o limite da função x^2 + 3xx^2 - 4 quando x se aproxima de 2 não existe.

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