Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. Esse problema está dentro do estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como avaliar limites de funções racionais e verificar se a substituição direta do valor de
funciona.
Passo 2
Primeiro, tentamos substituir diretamente
na expressão para ver se conseguimos um resultado definido:
Aqui, observamos que a divisão por zero ocorre, o que significa que a substituição direta não funciona e precisamos de outra abordagem.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma indeterminação como
, uma boa estratégia é tentar simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador e o denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 4
Mesmo após a fatoração, ainda temos uma divisão por zero quando
. Isso nos indica que o limite pode estar tendendo para infinito ou que o limite não existe. Para entender melhor o comportamento da função próximo a
, vamos analisar os sinais:
-
Para
próximo de 2 pela direita ( ): - Numerador:
- Denominador:
(porque é positivo) - Resultado:
- Numerador:
-
Para
próximo de 2 pela esquerda ( ): - Numerador:
- Denominador:
(porque é negativo) - Resultado:
- Numerador:
Resposta
Como os limites laterais são diferentes (uma tendendo para
e a outra para
), concluímos que o limite da função
quando
se aproxima de 2 não existe.