lim x -2 x^3+8x^2+4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar regras de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente (-2)^3 + 8(-2)^2 + 4 times (-2) + 4 = -8 + 84 - 8 + 4 = 00 na função para ver se conseguimos encontrar o limite rapidamente:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Primeiro, o numerador x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) é uma soma de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Agora, vamos fatorar o denominador . Isso é um trinômio quadrado perfeito:

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x + 2)^2 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x + 2)(x + 2)
Podemos cancelar um fator x^2 - 2x + 4x + 2 do numerador e do denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir novamente (-2)^2 - 2 times (-2) + 4-2 + 2 = 4 + 4 + 40 = 120 na nova função:
Aqui, vemos que o denominador se aproxima de zero, e o numerador é positivo. Como está se aproximando de pela esquerda (valores menores que ), o denominador tende a , então o limite tende a .

Resposta

lim x -2 x^3+8x^2+4 x+4 = -infty

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