Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de limites, mais especificamente a limites envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar polinômios e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que não é permitido e indica que precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Vamos fatorar os polinômios do numerador e do denominador para simplificar a expressão. Começando pelo numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
Precisamos de dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, o denominador fatorado fica:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Perceba que o termo aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar ele (desde que ):

Passo 6

Agora, analisamos o limite da expressão simplificada quando se aproxima de :
Substituindo :
Isso indica que o limite tende a infinito. Mas precisamos verificar de qual lado estamos indo.

Passo 7

Vamos analisar os limites laterais:
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    O denominador está positivo e próximo de zero, então a fração tende a .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    O denominador está negativo e próximo de zero, então a fração tende a .
Como os limites laterais não são iguais (um tende a e o outro a ), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois tende a quando se aproxima de pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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