lim x 1 x^2-x-6x^2+x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 x^2-x-6x^2+x-2. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de limites, mais especificamente a limites envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar polinômios e analisar o comportamento da função perto de x = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(1)^2 - 1 - 6(1)^2 + 1 - 2 = 1 - 1 - 61 + 1 - 2 = -60
Aqui, estamos dividindo por zero, o que não é permitido e indica que precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Vamos fatorar os polinômios do numerador e do denominador para simplificar a expressão. Começando pelo numerador:
x^2 - x - 6
Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2. Então, o numerador fatorado fica:
(x - 3)(x + 2)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
x^2 + x - 2
Precisamos de dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1. Então, o denominador fatorado fica:
(x + 2)(x - 1)

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(x - 3)(x + 2)(x + 2)(x - 1)
Perceba que o termo (x + 2) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar ele (desde que x neq -2):
x - 3x - 1

Passo 6

Agora, analisamos o limite da expressão simplificada quando x se aproxima de 1:
lim x 1 x - 3x - 1
Substituindo x = 1:
1 - 31 - 1 = -20
Isso indica que o limite tende a infinito. Mas precisamos verificar de qual lado estamos indo.

Passo 7

Vamos analisar os limites laterais:
  • Quando x se aproxima de 1 pela direita ( x 1^+):
    O denominador (x - 1) está positivo e próximo de zero, então a fração -2+0 tende a -infty.
  • Quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x 1^-):
    O denominador (x - 1) está negativo e próximo de zero, então a fração -2-0 tende a +infty.
Como os limites laterais não são iguais (um tende a -infty e o outro a +infty), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois tende a -infty quando x se aproxima de 1 pela direita e a +infty quando se aproxima pela esquerda.

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