lim x 0 sin ^2(2 x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 sin ^2(2 x)x^2. Isso envolve o conteúdo de limites e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar que limx to 0 sin xx = 1.

Passo 2

Primeiro, observe que sin^2(2x) pode ser escrita como (sin(2x))^2. Então, nosso limite fica:
lim x 0 (sin(2x))^2x^2

Passo 3

Podemos separar o limite em duas partes multiplicativas:
(sin(2x)x)^2
Isso nos ajuda a aplicar a regra de limite conhecida.

Passo 4

Agora, vamos reescrever sin(2x)x como 2 cdot sin(2x)2x:
(2 cdot sin(2x)2x)^2

Passo 5

Sabemos que limx to 0 sin(2x)2x = 1, pois segue a regra limx to 0 sin(kx)kx = 1, onde k é uma constante.

Passo 6

Substituindo o limite conhecido:
(2 cdot 1)^2 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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