lim x 0 x-arcsen xx

Passo 1

Olha só, a gente tem o seguinte limite para resolver:
Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites e funções trigonometricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre as séries de Taylor e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arcsen pode ser expandida em uma série de Taylor quando arcsen,x = x + x^36 + 3x^540 + dots está próximo de 0. A série de Taylor para é:
Para simplificar nossos cálculos, vamos considerar apenas os primeiros termos dessa série, já que estamos interessados no limite quando tende a 0.

Passo 3

Agora, substituímos a série de na expressão original do limite:
Simplificando a fração:
x - arcsen,xx = x - ( x + x^36 )x = -x^36x

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando limx 0 -x^26 = -0^26 = 0 tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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