, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre o limite de
quando
tende ao infinito, onde
é um número natural. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o conceito de limites e a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais e exponenciais se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da fração: no numerador temos
, que é uma função polinomial, e no denominador
, que é uma função exponencial. Sabemos que, à medida que
cresce, funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções polinomiais.
Passo 3
Para calcular o limite, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando
vai para infinito. Isso forma uma indeterminação do tipo
, que é um cenário onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para resolver o limite.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, nosso limite fica:
Passo 5
Notamos que ainda estamos com uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo. Agora, derivamos novamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
O limite fica:
Passo 6
Continuamos aplicando a Regra de L’Hôpital repetidamente. A cada derivação, o expoente de
diminui em 1 no numerador, enquanto o denominador continua sendo uma função exponencial multiplicada por uma constante. Depois de aplicar a regra
vezes, o numerador se tornará uma constante, e o denominador continuará a crescer exponencialmente.
Passo 7
Após
derivações, teremos:
Aqui,
é uma constante, e
ainda cresce exponencialmente à medida que
vai para infinito.
Passo 8
Agora, vendo que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante, o limite da fração será zero.