lim x infty x^ne^2 x, para n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre o limite de quando tende ao infinito, onde é um número natural. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o conceito de limites e a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais e exponenciais se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da fração: no numerador temos , que é uma função polinomial, e no denominador , que é uma função exponencial. Sabemos que, à medida que cresce, funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções polinomiais.

Passo 3

Para calcular o limite, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando vai para infinito. Isso forma uma indeterminação do tipo , que é um cenário onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para resolver o limite.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a lim x infty n cdot x^n-12e^2x :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, nosso limite fica:

Passo 5

Notamos que ainda estamos com uma forma lim x infty n(n-1) cdot x^n-24e^2x , então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo. Agora, derivamos novamente:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
O limite fica:

Passo 6

Continuamos aplicando a Regra de L’Hôpital repetidamente. A cada derivação, o expoente de diminui em 1 no numerador, enquanto o denominador continua sendo uma função exponencial multiplicada por uma constante. Depois de aplicar a regra vezes, o numerador se tornará uma constante, e o denominador continuará a crescer exponencialmente.

Passo 7

Após lim x infty n!2^ne^2x derivações, teremos:
Aqui, é uma constante, e ainda cresce exponencialmente à medida que vai para infinito.

Passo 8

Agora, vendo que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante, o limite da fração será zero.

Resposta

lim x infty x^ne^2x = 0

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