lim x 0(pix tg(pi x)2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
lim x 0(pix tg(pi x)2)
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Pra resolver isso, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de zero e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar. A expressão original pode ser reescrita assim:
pix cdot tan(pi x)2 = pi2x tan(pi x)
Agora, nosso objetivo é encontrar:
limx to 0 pi2x tan(pi x)

Passo 3

Sabemos que quando tan(theta) approx theta está perto de zero, tan(pi x) approx pi x também está perto de zero. E uma propriedade importante da tangente é que, para valores pequenos de :
Isso significa que:

Passo 4

Usando essa aproximação, substituímos na expressão do limite:
pi2x tan(pi x) approx pi2x cdot pi x = pi^22
Portanto, o limite simplifica para:
limx to 0 pi^22 = pi^22

Resposta

O limite é igual a .

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