Passo 1
Vamos lá! A gente tem um limite envolvendo funções trigonométricas:
Isso significa que queremos saber o que acontece com essa expressão quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que
e entender como o cosseno se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de
:
Isso simplifica a nossa conta, mas ainda precisamos descobrir o que acontece com
e
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Sabemos que
, então tanto
quanto
estarão se aproximando de 0 quando
. Isso nos dá uma forma
, que é uma situação em que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Vamos aplicar isso à nossa expressão
.
Passo 5
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então, nossa nova expressão para o limite fica:
Podemos simplificar isso para:
Passo 6
Agora, vamos avaliar cada parte quando
:
-
-
-
, então: -
Substituindo na expressão:
Acontece de novo
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 7
Derivamos novamente o numerador e o denominador da expressão simplificada:
- Numerador:
- Denominador:
Agora, nosso limite fica:
Passo 8
Vamos avaliar cada parte agora:
Substituindo:
Resposta
O limite é igual a 9.