lim x pi2 sec ^2 xsec ^2(3 x)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um limite envolvendo funções trigonométricas:
lim x pi2 sec ^2 xsec ^2(3 x)
Isso significa que queremos saber o que acontece com essa expressão quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar que e entender como o cosseno se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de sec ^2 xsec ^2(3 x) = (1cos x)^2(1cos (3x))^2 = cos^2(3x)cos^2 x :
Isso simplifica a nossa conta, mas ainda precisamos descobrir o que acontece com e quando se aproxima de .

Passo 3

Sabemos que , então tanto quanto estarão se aproximando de 0 quando . Isso nos dá uma forma , que é uma situação em que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Vamos aplicar isso à nossa expressão .

Passo 5

Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de 2cos(3x) cdot (-sin(3x)) cdot 3 = -6cos(3x)sin(3x) :
2cos x cdot (-sin x) = -2cos x sin x
  • Derivada de lim x pi2 -6cos(3x)sin(3x)-2cos x sin x = lim x pi2 6cos(3x)sin(3x)2cos x sin x :
3 cdot cos(3x)sin(3x)cos x sin x
Então, nossa nova expressão para o limite fica:
Podemos simplificar isso para:

Passo 6

Agora, vamos avaliar cada parte quando 3 cdot 0 cdot (-1)0 cdot 1 = 00 :
  • , então:
Substituindo na expressão:
Acontece de novo , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 7

Derivamos novamente o numerador e o denominador da expressão simplificada:
  • Numerador: d/dx [cos(3x)sin(3x)] = -3sin(3x)sin(3x) + 3cos(3x)cos(3x) = 3cos^2(3x) - 3sin^2(3x)
d/dx [cos x sin x] = -sin x sin x + cos x cos x = cos^2 x - sin^2 x
  • Denominador: 3 cdot 3cos^2(3x) - 3sin^2(3x)cos^2 x - sin^2 x
Agora, nosso limite fica:

Passo 8

Vamos avaliar cada parte agora:
  • 3 cdot 3(0)^2 - 3(-1)^2(0)^2 - (1)^2 = 3 cdot 0 - 30 - 1 = 3 cdot -3-1 = 3 cdot 3 = 9
Substituindo:

Resposta

O limite é igual a 9.

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