lim x 0 cos (x)-1 x 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor da função cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar como é a expansão em série de Taylor para o cosseno. A função cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - cdots pode ser escrita como:
Essa expansão nos ajuda a aproximar a função perto de .

Passo 3

Agora, vamos substituir a expansão de cos(x) - 1x^2 = 1 - x^22 + x^424 - cdots - 1x^2 na expressão do limite:
-x^22 + x^424 - cdotsx^2
Simplificando o numerador:

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador por -12 + x^224 - cdots :
-12
Agora, ao calcular o limite quando tende a 0, os termos com ou potências maiores vão desaparecer, restando apenas:

Resposta

limx to 0 cos(x) - 1x^2 = -12

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