lim x 0 sen x x+sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão que temos é:
limx 0 sin xx + sin x
Aqui, estamos lidando com Cálculo, especificamente Limites. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites e das funções trigonométricas, especialmente o comportamento de quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
  • Numerador: quando tende a 0, pois .
  • Denominador: . Tanto quanto tendem a 0, então o denominador também tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar ou encontrar outra maneira de resolver.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites do tipo limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) é aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
A Regra de L’Hôpital diz que:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos aplicar a regra nos nossos termos:
  • Derivada do numerador: limx 0 cos x1 + cos x então .
  • Derivada do denominador: então .
Agora, podemos reescrever o limite usando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos calcular esse novo limite. Substituímos cos 01 + cos 0 = 11 + 1 = 12 direto, já que não temos mais uma forma indeterminada:

Resposta

O limite é .

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