Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão que temos é:
Aqui, estamos lidando com Cálculo, especificamente Limites. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites e das funções trigonométricas, especialmente o comportamento de
quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0.
- Numerador:
quando tende a 0, pois . - Denominador:
. Tanto quanto tendem a 0, então o denominador também tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que precisamos simplificar ou encontrar outra maneira de resolver.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites do tipo
é aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
A Regra de L’Hôpital diz que:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos aplicar a regra nos nossos termos:
- Derivada do numerador:
então . - Derivada do denominador:
então .
Agora, podemos reescrever o limite usando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos calcular esse novo limite. Substituímos
direto, já que não temos mais uma forma indeterminada:
Resposta
O limite é
.