lim x 0 sen(x 2) 1-cos x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para isso, vamos usar conceitos de limites e trigonometria, como as aproximações de funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, percebemos que quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso cria uma forma indeterminada , o que nos permite usar a regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 2x cos(x^2)sin x

Passo 5

Agora, analisamos cada parte do novo limite:
  • limx to 0 2x cdot 1x = 2 tende a quando se aproxima de 0.
  • Sabemos que para próximo de 0.
Assim, o limite simplifica para:

Resposta

O limite vale 2.

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