Passo 1
Vamos calcular o limite
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e trigonometria, como as aproximações de funções trigonométricas próximas de zero.
Passo 2
Primeiro, percebemos que quando
se aproxima de 0, tanto o numerador
quanto o denominador
se aproximam de 0. Isso cria uma forma indeterminada
, o que nos permite usar a regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 4
Substituímos as derivadas no limite:
Passo 5
Agora, analisamos cada parte do novo limite:
-
tende a quando se aproxima de 0. - Sabemos que
para próximo de 0.
Assim, o limite simplifica para:
Resposta
O limite vale 2.
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(2016-1)