Um número complexo alpha chama-se algébrico sobre Q quando existe um polinômio f(x) pertence a Q[x]-{0} tal que f(alpha) = 0.
(a) Mostre que todo número racional é algébrico sobre Q.
(b) Sejam n pertence a N, m pertence a Z e r em Q*. Então, o número raiz(r^m) (n) é algébrico sobre Q.
© Dê exemplos de números alpha, beta em C - R algébricos sobre Q

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido! O exercício fala sobre números algébricos sobre os racionais ( Q). Basicamente, um número é algébrico se existe um polinômio com coeficientes racionais que, quando substituímos o número nesse polinômio, o resultado é zero. Para resolvermos as partes (a), (b) e ©, vamos precisar usar essa definição e construir polinômios adequados para cada caso.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que todo número racional é algébrico sobre Q.
Primeiro, pegue qualquer número racional q in Q. Queremos encontrar um polinômio com coeficientes racionais tal que . Um jeito simples de fazer isso é usar o polinômio linear .
Vamos ver:
Então, encontramos um polinômio de primeiro grau com coeficientes racionais que anula q. Portanto, todo número racional é algébrico sobre Q.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que raiz(r^m) (n) é algébrico sobre Q, onde n in N, m pertence a Z e r em Q*.
Vamos chamar . Queremos achar um polinômio com coeficientes racionais que satisfaça .
Observamos que:
Rearranjando, temos:
Então, o polinômio que buscamos é . Como r é racional e m, n são inteiros, os coeficientes de f(x) são racionais. Assim, alpha é uma raiz desse polinômio, ou seja, alpha é algébrico sobre Q.

Passo 4

Parte ©: Dar exemplos de números que são algébricos sobre Q.
Vamos escolher números complexos que não são reais e que satisfaçam polinômios com coeficientes racionais.
Um exemplo clássico é a unidade imaginária i, onde:
Então, i é uma raiz do polinômio , que tem coeficientes racionais. Logo, i é algébrico sobre Q.
Outro exemplo é . Vamos encontrar um polinômio para ele. Sabemos que:
E:
Então, . Isso significa que . Portanto, o polinômio anula , mostrando que alpha é algébrico sobre Q.

Resposta

(a) Todo número racional q é algébrico sobre Q, já que o polinômio satisfaz .
(b) Para n in N, m pertence a Z e r em Q*, o número raiz(r^m) (n) é algébrico sobre Q porque satisfaz o polinômio .
© Exemplos de números complexos não reais algébricos sobre Q são i e .

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