Um número complexo
chama-se algébrico sobre
quando existe um polinômio
tal que
.
(a) Mostre que todo número racional é algébrico sobre
.
(b) Sejam
e
. Então, o número
é algébrico sobre
.
© Dê exemplos de números
algébricos sobre
(a) Mostre que todo número racional é algébrico sobre
(b) Sejam
© Dê exemplos de números
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido! O exercício fala sobre números algébricos sobre os racionais (
). Basicamente, um número é algébrico se existe um polinômio com coeficientes racionais que, quando substituímos o número nesse polinômio, o resultado é zero. Para resolvermos as partes (a), (b) e ©, vamos precisar usar essa definição e construir polinômios adequados para cada caso.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que todo número racional é algébrico sobre
.
Primeiro, pegue qualquer número racional
. Queremos encontrar um polinômio com coeficientes racionais tal que
. Um jeito simples de fazer isso é usar o polinômio linear
.
Vamos ver:
Então, encontramos um polinômio de primeiro grau com coeficientes racionais que anula
. Portanto, todo número racional é algébrico sobre
.
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
é algébrico sobre
, onde
,
e
.
Vamos chamar
. Queremos achar um polinômio com coeficientes racionais que satisfaça
.
Observamos que:
Rearranjando, temos:
Então, o polinômio que buscamos é
. Como
é racional e
são inteiros, os coeficientes de
são racionais. Assim,
é uma raiz desse polinômio, ou seja,
é algébrico sobre
.
Passo 4
Parte ©: Dar exemplos de números
que são algébricos sobre
.
Vamos escolher números complexos que não são reais e que satisfaçam polinômios com coeficientes racionais.
Um exemplo clássico é a unidade imaginária
, onde:
Então,
é uma raiz do polinômio
, que tem coeficientes racionais. Logo,
é algébrico sobre
.
Outro exemplo é
. Vamos encontrar um polinômio para ele. Sabemos que:
E:
Então,
. Isso significa que
. Portanto, o polinômio
anula
, mostrando que
é algébrico sobre
.
Resposta
(a) Todo número racional
é algébrico sobre
, já que o polinômio
satisfaz
.
(b) Para
,
e
, o número
é algébrico sobre
porque satisfaz o polinômio
.
© Exemplos de números complexos não reais algébricos sobre
são
e
.