lim x 0 sen(a x)tg(b x), onde a, b são numeros reais diferentes de zero.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 sen(a x)tg(b x). Este exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites de funções trigonométricas. Para resolvê-lo, vamos utilizar propriedades de limites fundamentais e conhecer algumas aproximações de funções trigonométricas quando o ângulo se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg(b x) é a função tangente, que pode ser escrita como tg(b x) = sen(b x)cos(b x). Assim, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
lim x 0 sen(a x)sen(b x)cos(b x) = lim x 0 sen(a x) cdot cos(b x)sen(b x)

Passo 3

Agora, separamos o limite em duas partes:
lim x 0 sen(a x)a x cdot b xsen(b x) cdot ab cdot cos(b x)
Sabemos que limx 0 sen(k x)k x = 1 para qualquer constante k neq 0, e limx 0 cos(b x) = 1.

Passo 4

Aplicando esses limites, temos:
lim x 0 sen(a x)a x = 1
lim x 0 b xsen(b x) = 1
lim x 0 cos(b x) = 1
Portanto, o limite original se simplifica para:
1 cdot 1 cdot ab cdot 1 = ab

Resposta

O limite lim x 0 sen(a x)tg(b x) é igual a ab.

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