.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmicas se comportam quando
cresce sem limites e utilizar uma regra que nos ajuda a simplificar frações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce sem limites conforme
aumenta, e, por consequência,
também cresce, mas de forma ainda mais lenta. Já no denominador, temos
, que aumenta muito rápido.
Passo 3
Percebemos que tanto o numerador
quanto o denominador
tendem ao infinito quando
. Ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se temos um limite do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador
:
Agora, derivamos o denominador
:
Passo 5
Substituímos as derivadas no limite original:
Agora, vamos analisar esse novo limite.
Passo 6
Quando
tende ao infinito, tanto
quanto
tendem a infinito, então
também tende a infinito. Portanto,
tende a zero, já que o denominador está crescendo sem limites.