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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmicas se comportam quando cresce sem limites e utilizar uma regra que nos ajuda a simplificar frações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando tende ao infinito. Sabemos que cresce sem limites conforme aumenta, e, por consequência, também cresce, mas de forma ainda mais lenta. Já no denominador, temos , que aumenta muito rápido.

Passo 3

Percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando . Ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se temos um limite do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador :
Agora, derivamos o denominador :

Passo 5

Substituímos as derivadas no limite original:
Agora, vamos analisar esse novo limite.

Passo 6

Quando tende ao infinito, tanto quanto tendem a infinito, então também tende a infinito. Portanto, tende a zero, já que o denominador está crescendo sem limites.

Resposta

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, onde são numeros reais diferentes de zero.
, onde são numeros reais diferentes de zero.
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