Seja a função
f(x)=|x+2|x^2-4,
determine os seguintes limites:
lim x -2^+ f(x) e lim x -2^- f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar os limites dela quando se aproxima de por valores maiores que ( ) e por valores menores que ( ). Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como o comportamento da função muda perto desse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: f(x) = |x + 2|(x - 2)(x + 2) . Sabemos que isso pode ser fatorado como f(x) = |x + 2|(x - 2)(x + 2) = |x + 2|(x + 2)(x - 2) = 1x - 2 se x + 2 > 0 . Então, f(x) = |x + 2|(x + 2)(x - 2) = -1x - 2 se x + 2 < 0 .
Agora, vamos olhar para a função completa:
A gente pode simplificar a função cancelando o termo no numerador e denominador, mas temos que ter cuidado porque para evitar divisão por zero. Então, para :
Agora, precisamos ver o que acontece quando se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ).

Passo 3

Limite quando f(x) = 1x - 2 :
Quando limx -2^+ f(x) = 1-2 - 2 = 1-4 = -14 se aproxima de f(x) = -1x - 2 pela direita, isso significa que limx -2^- f(x) = -1-2 - 2 = -1-4 = 14 . Nesse caso, , então:
Agora, substituindo por valores bem próximos de pela direita, como , , etc., percebemos que está se aproximando de . Então:
Limite quando :
Agora, quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, . Nesse caso, , então:
Substituindo por valores próximos a pela esquerda, como , , etc., está se aproximando de . Então:

Resposta

limx -2^+ f(x) = -14 e limx -2^- f(x) = 14

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