lim x 0 x(1-cos x) tg 3 x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limite em cálculo, especificamente usando aproximações de funções trigonométricas próximas a zero. Para resolver, vamos precisar entender como aproximar e quando está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos aproximar cos x approx 1 - x^22 . Sabemos que, para valores pequenos de 1 - cos x approx x^22 , podemos usar a expansão em série de Taylor para o cosseno:
Então,

Passo 3

Agora, vamos aproximar tan y approx y . Para tan 3x approx 3x próximo de 0, a tangente pode ser aproximada por:
Aplicando isso para :

Passo 4

Substituímos as aproximações encontradas na expressão original:
x(1 - cos x) cdot tan 3x approx x (x^22) cdot 3x
Simplificando:
x cdot x^22 cdot 3x = 32 x^4

Passo 5

Agora, calculamos o limite de limx 0 32 x^4 = 32 cdot 0 = 0 quando tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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