lim x 0 1-cos x xsen x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o limite:
limx 0 1 - cos xx cdot sin x
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites e envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades de limites envolvendo funções trigonométricas e possivelmente a regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento das funções trigonométricas quando limx 0 sin xx = 1 se aproxima de 0. Sabemos que:
limx 0 1 - cos xx^2 = 12
e
Esses limites são padrões que frequentemente aparecem em exercícios de limite envolvendo senos e cossenos.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão original para facilitar a aplicação desses limites conhecidos. Observe que podemos decompor o denominador:
x cdot sin x = x^2 cdot sin xx
Então, substituindo isso na nossa expressão original, temos:
1 - cos xx cdot sin x = 1 - cos xx^2 cdot xsin x

Passo 4

Agora, podemos separar o limite em duas partes, já que o limite do produto é o produto dos limites, desde que ambos existam:
limx 0 1 - cos xx^2 cdot limx 0 xsin x
Usando os limites que mencionamos no Passo 2, temos:
limx 0 1 - cos xx^2 = 12
e
limx 0 xsin x = 1

Passo 5

Multiplicando esses resultados, obtemos:
12 cdot 1 = 12

Resposta

Portanto,
limx 0 1 - cos xx cdot sin x = 12

Exercícios relacionados