Passe para coordenadas polares e calcule integral0^1[integral0^raizx-x^2 x d y] d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla convertendo para coordenadas polares. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e coordenadas polares. Precisaremos entender como transformar as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração conforme a nova representação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano cartesiano. A integral tem y^2 + x^2 <= x variando de 0 a 1 e, para cada x^2 - x + y^2 <= 0 , (x - 12)^2 + y^2 <= (12)^2 vai de 0 até . A condição pode ser reescrita como , ou seja:
Rearranjando os termos:
Completando o quadrado para :
Isso representa um círculo de raio centrado em . A região de integração é, portanto, a parte superior desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para polares. As relações de conversão são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é dado por:

Passo 4

Com a região de integração identificada como a parte superior do círculo centrado em u = x - 12, v = y com raio u = r cos theta , precisamos ajustar a integração para coordenadas polares. Para isso, fazemos uma substituição que centraliza o círculo na origem.
Vamos redefinir as coordenadas:
v = r sin theta
Em coordenadas polares:
u^2 + v^2 = (12)^2
r^2 = (12)^2 Rightarrow r = 12
A equação do círculo fica:
integral0^pi integral0^12 ( r cos theta + 12 ) cdot r , dr , dtheta
Substituindo e :
Os limites de para cobrir a parte superior do círculo vão de a , e varia de a .
Agora, a integral original em coordenadas polares fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
( r cos theta + 12 ) cdot r = r^2 cos theta + 12 r
Portanto, a integral fica:
integral0^pi integral0^12 ( r^2 cos theta + 12 r ) dr , dtheta
Integrando em relação a integral0^12 r^2 cos theta , dr = cos theta cdot [ r^33 ]0^12 = cos theta cdot 124 :
integral0^12 12 r , dr = 12 cdot [ r^22 ]0^12 = 12 cdot 18 = 116
integral0^pi ( cos theta24 + 116 ) dtheta = 124 integral0^pi cos theta , dtheta + 116 integral0^pi dtheta
Substituindo de volta na integral externa:
124 integral0^pi cos theta , dtheta = 124 [ sin theta ]0^pi = 124 (0 - 0) = 0
Calculando cada parte:
116 integral0^pi dtheta = 116 cdot pi = pi16

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi16

Associação em Português

Empregamos as coordenadas polares para simplificar a integração sobre a região circular descrita, realizando as devidas substituições e integrações passo a passo para obter o resultado final de .

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