Passe para coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
convertendo para coordenadas polares. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e coordenadas polares. Precisaremos entender como transformar as coordenadas cartesianas
para polares
e ajustar os limites de integração conforme a nova representação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano cartesiano. A integral tem
variando de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
. A condição
pode ser reescrita como
, ou seja:
Rearranjando os termos:
Completando o quadrado para
:
Isso representa um círculo de raio
centrado em
. A região de integração é, portanto, a parte superior desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para polares. As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 4
Com a região de integração identificada como a parte superior do círculo centrado em
com raio
, precisamos ajustar a integração para coordenadas polares. Para isso, fazemos uma substituição que centraliza o círculo na origem.
Vamos redefinir as coordenadas:
Em coordenadas polares:
A equação do círculo fica:
Substituindo
e
:
Os limites de
para cobrir a parte superior do círculo vão de
a
, e
varia de
a
.
Agora, a integral original em coordenadas polares fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Substituindo de volta na integral externa:
Calculando cada parte:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Associação em Português
Empregamos as coordenadas polares para simplificar a integração sobre a região circular descrita, realizando as devidas substituições e integrações passo a passo para obter o resultado final de
.