Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para :
Determine então o limite

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer verificar algumas desigualdades usando o círculo trigonométrico e, depois, calcular um limite envolvendo o seno de x. A matéria aqui é trigonometria e limites, que são partes básicas do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o círculo trigonométrico, as funções trigonométricas envolvidas e as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o círculo trigonométrico. Imagine um círculo com raio 1, onde qualquer ângulo x (em radianos) intercepta um ponto no círculo. As coordenadas desse ponto são .

Passo 3

Para , sabemos que o seno de x é positivo. Então, podemos simplificar as desigualdades removendo os valores absolutos:

Passo 4

Vamos entender cada parte dessa desigualdade:
  1. : Isso acontece porque, para pequenos valores de x, o arco no círculo é maior que o cateto oposto (seno).
  2. : Aqui, o arco está menor que a tangente, já que a tangente estende-se para além do círculo.

Passo 5

Agora, queremos calcular o limite:
Sabemos que tanto quanto x se aproximam de 0 quando x se aproxima de 0, então estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, vamos usar as desigualdades que estabelecemos.

Passo 6

Dividindo todas as partes da desigualdade por (que é positiva nesse intervalo), obtemos:
Simplificando :
Então, temos:

Passo 7

Invertendo todas as partes da desigualdade (lembrando que inverter uma desigualdade mantém a ordem se todos os termos forem positivos, o que é o caso aqui):

Passo 8

Agora, vamos aplicar o limite em todos os lados da desigualdade quando x se aproxima de 0:
Então, temos:

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), concluímos que:

Exercícios relacionados

Se , encontre os limites
  • .
Suponha que para todo . Existe o limite
Para quaisquer , mostre que
As expressões a seguir contêm indeterminações. Informo que os limites existem, e podem ser calculados sabendo os dois limites fundamentais estudados em sala. O exercício é calculá-los.
a.
b.
c.
d.