Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para
:
Determine então o limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer verificar algumas desigualdades usando o círculo trigonométrico e, depois, calcular um limite envolvendo o seno de x. A matéria aqui é trigonometria e limites, que são partes básicas do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o círculo trigonométrico, as funções trigonométricas envolvidas e as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o círculo trigonométrico. Imagine um círculo com raio 1, onde qualquer ângulo x (em radianos) intercepta um ponto no círculo. As coordenadas desse ponto são
.
Passo 3
Para
, sabemos que o seno de x é positivo. Então, podemos simplificar as desigualdades removendo os valores absolutos:
Passo 4
Vamos entender cada parte dessa desigualdade:
-
: Isso acontece porque, para pequenos valores de x, o arco no círculo é maior que o cateto oposto (seno). -
: Aqui, o arco está menor que a tangente, já que a tangente estende-se para além do círculo.
Passo 5
Agora, queremos calcular o limite:
Sabemos que tanto
quanto x se aproximam de 0 quando x se aproxima de 0, então estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, vamos usar as desigualdades que estabelecemos.
Passo 6
Dividindo todas as partes da desigualdade por
(que é positiva nesse intervalo), obtemos:
Simplificando
:
Então, temos:
Passo 7
Invertendo todas as partes da desigualdade (lembrando que inverter uma desigualdade mantém a ordem se todos os termos forem positivos, o que é o caso aqui):
Passo 8
Agora, vamos aplicar o limite em todos os lados da desigualdade quando x se aproxima de 0:
Então, temos:
Resposta
Portanto, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), concluímos que:
Exercícios relacionados
Se
, encontre os limites
-
-
.
Suponha que
para todo
. Existe o limite
Para quaisquer
, mostre que
As expressões a seguir contêm indeterminações. Informo que os limites existem, e podem ser calculados sabendo os dois limites fundamentais estudados em sala. O exercício é calculá-los.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.