Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para x in(-pi2, pi2) :
|sen x| <=|x| <=|tan x|
Determine então o limite
lim x 0 sen xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer verificar algumas desigualdades usando o círculo trigonométrico e, depois, calcular um limite envolvendo o seno de x. A matéria aqui é trigonometria e limites, que são partes básicas do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o círculo trigonométrico, as funções trigonométricas envolvidas e as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o círculo trigonométrico. Imagine um círculo com raio 1, onde qualquer ângulo x (em radianos) intercepta um ponto no círculo. As coordenadas desse ponto são (cos x, sin x).

Passo 3

Para x in (-pi2, pi2), sabemos que o seno de x é positivo. Então, podemos simplificar as desigualdades removendo os valores absolutos:
sin x <= x <= tan x

Passo 4

Vamos entender cada parte dessa desigualdade:
  1. sin x <= x: Isso acontece porque, para pequenos valores de x, o arco no círculo é maior que o cateto oposto (seno).
  2. x <= tan x: Aqui, o arco está menor que a tangente, já que a tangente estende-se para além do círculo.

Passo 5

Agora, queremos calcular o limite:
limx 0 sin xx
Sabemos que tanto sin x quanto x se aproximam de 0 quando x se aproxima de 0, então estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo 00. Para resolver isso, vamos usar as desigualdades que estabelecemos.

Passo 6

Dividindo todas as partes da desigualdade por sin x (que é positiva nesse intervalo), obtemos:
1 <= xsin x <= tan xsin x
Simplificando tan xsin x:
tan xsin x = sin xcos xsin x = 1cos x
Então, temos:
1 <= xsin x <= 1cos x

Passo 7

Invertendo todas as partes da desigualdade (lembrando que inverter uma desigualdade mantém a ordem se todos os termos forem positivos, o que é o caso aqui):
1 >= sin xx >= cos x

Passo 8

Agora, vamos aplicar o limite em todos os lados da desigualdade quando x se aproxima de 0:
limx 0 1 = 1 limx 0 sin xx = L limx 0 cos x = 1
Então, temos:
1 >= L >= 1

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), concluímos que:
limx 0 sin xx = 1

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