Para quaisquer
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade que compara a média de
e
ao quadrado com a média dos quadrados de
e
. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra básica, como expansão de binômios e propriedades das desigualdades. Precisamos mostrar que:
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado esquerdo da desigualdade. Vamos expandir o quadrado de
:
Passo 3
Agora, vamos expandir o quadrado de
. Sabemos que:
Então, substituindo de volta na expressão:
Passo 4
A desigualdade original agora fica:
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos distribuir o 2 no lado direito:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade:
Simplificando:
Ou, multiplicando por -1 (lembre-se que isso inverte a desigualdade):
Passo 6
Observamos que
é igual a
. Ou seja:
Passo 7
Sabemos que qualquer número ao quadrado é maior ou igual a zero. Portanto:
Isso confirma que nossa desigualdade original sempre será verdadeira para quaisquer
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
para quaisquer
.
Exercícios relacionados
Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para
:
Determine então o limite
Se
, encontre os limites
-
-
.
As expressões a seguir contêm indeterminações. Informo que os limites existem, e podem ser calculados sabendo os dois limites fundamentais estudados em sala. O exercício é calculá-los.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Modificando o item (d) do problema anterior, obtenha uma expressão cujo limite quando
seja 6 .