Para quaisquer , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade que compara a média de e ao quadrado com a média dos quadrados de e . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra básica, como expansão de binômios e propriedades das desigualdades. Precisamos mostrar que:

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado esquerdo da desigualdade. Vamos expandir o quadrado de :

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado de . Sabemos que:
Então, substituindo de volta na expressão:

Passo 4

A desigualdade original agora fica:
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos distribuir o 2 no lado direito:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade:
Simplificando:
Ou, multiplicando por -1 (lembre-se que isso inverte a desigualdade):

Passo 6

Observamos que é igual a . Ou seja:

Passo 7

Sabemos que qualquer número ao quadrado é maior ou igual a zero. Portanto:
Isso confirma que nossa desigualdade original sempre será verdadeira para quaisquer .

Resposta

Portanto, mostramos que:
para quaisquer .

Exercícios relacionados

Verifique geometricamente no círculo trigonométrico as desigualdades, para :
Determine então o limite
Se , encontre os limites
  • .
As expressões a seguir contêm indeterminações. Informo que os limites existem, e podem ser calculados sabendo os dois limites fundamentais estudados em sala. O exercício é calculá-los.
a.
b.
c.
d.
Modificando o item (d) do problema anterior, obtenha uma expressão cujo limite quando seja 6 .