Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.

Passo 1

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e manipular expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
Por quê? Porque o derivado de nos dará algo que podemos simplificar com a função tangente, e é uma função cuja integral conhecemos.

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Sabemos que . Vamos substituir isso na integral:

Passo 8

Distribuindo o :

Passo 9

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar :

Passo 10

Finalmente, dividindo ambos os lados por :

Resposta

A fórmula de redução demonstrada é:

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