Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e manipular expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos escolher:
Por quê? Porque o derivado de
nos dará algo que podemos simplificar com a função tangente, e
é uma função cuja integral conhecemos.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Sabemos que
. Vamos substituir isso na integral:
Passo 8
Distribuindo o
:
Passo 9
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar
:
Passo 10
Finalmente, dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A fórmula de redução demonstrada é:
Exercícios relacionados
A Companhia Ace de aluguel de caminhões aluga certo modelo de caminhão a
por dia e 15 centavos por milha, enquanto a Companhia Acme de aluguel de caminhões aluga o mesmo modelo a
por dia e 20 centavos por milha. De qual companhia um cliente deve alugar um caminhão por um dia se ele planeja percorrer no máximo 70 milhas e deseja fazê-lo ao menor custo possível?
Se
existe, o que pode ser dito sobre
?
Assuma que em uma determinada cidade, um monopolista venda a arroba do boi por
e que a esse preço venda 1000 arrobas por semana. Suponha também que o produtor observa que a cada
que ele cobra a menos na arroba, ele venderá cerca de 25 arrobas a mais. Determine o preço (
) em função do número de descontos de
.
Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.