Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução. integral sec ^n(x) d x=tg(x) cdot sec ^n-2(x)n-1-n-2n-1 integral sec ^n-2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e manipular expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = sec^n-2(x) e dv = sec^2(x) dx
Por quê? Porque o derivado de nos dará algo que podemos simplificar com a função tangente, e é uma função cuja integral conhecemos.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx(sec^n-2(x)) dx = (n-2)sec^n-2(x)tan(x) dx e v = integral sec^2(x) dx = tan(x) :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sec^n(x) dx = integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) cdot tan(x) - integral tan(x) cdot (n-2)sec^n-2(x)tan(x) dx , , :

Passo 6

Simplificando a expressão:
integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n-2(x) tan^2(x) dx

Passo 7

Sabemos que integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n-2(x) (sec^2(x) - 1) dx . Vamos substituir isso na integral:

Passo 8

Distribuindo o integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n(x) dx + (n-2) integral sec^n-2(x) dx :

Passo 9

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar integral sec^n(x) dx + (n-2) integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) + (n-2) integral sec^n-2(x) dx :
(n-1) integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x) + (n-2) integral sec^n-2(x) dx

Passo 10

Finalmente, dividindo ambos os lados por integral sec^n(x) dx = sec^n-2(x) tan(x)n-1 - n-2n-1 integral sec^n-2(x) dx :

Resposta

A fórmula de redução demonstrada é:
integral sec^n(x) dx = tan(x) cdot sec^n-2(x)n-1 - n-2n-1 integral sec^n-2(x) dx

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