lim x 1 f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=lrx^2 & se x <= 1 2 x-1 se x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 1. Estamos trabalhando com funções definidas por partes, então vamos precisar conhecer os valores de antes e depois de 1. Vamos usar as regras de limites e entender como a função se comporta perto de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é f(x) = x^2 & se x <= 1 2x - 1 & se x > 1 . Olhando a função:
f(1) = 1^2 = 1
Como está na primeira parte da função ( ), temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 4

Limite pela esquerda ( limx to 1^- x^2 - 1x - 1 ):
Quando x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) se aproxima de 1 pela esquerda, usamos a primeira parte da função ( limx to 1^- (x - 1)(x + 1)x - 1 = limx to 1^- (x + 1) = 2 ):
Essa expressão pode ser simplificada fatorando o numerador:
Então:

Passo 5

Limite pela direita ( limx to 1^+ 2x - 1 - 1x - 1 = limx to 1^+ 2x - 2x - 1 ):
Quando 2x - 2 = 2(x - 1) se aproxima de 1 pela direita, usamos a segunda parte da função ( limx to 1^+ 2(x - 1)x - 1 = limx to 1^+ 2 = 2 ):
Podemos fatorar o numerador:
Então:

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais ( ), o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

lim x 1 f(x)-f(1)x-1 = 2

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