Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que para todo . Isso está relacionado ao conteúdo de funções e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo valores absolutos e aplicar propriedades de desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Para facilitar, vamos supor que a função está definida de uma forma que nos permite simplificar essa fração. Geralmente, deve ser uma função que, ao dividir por , nos dá algo relacionado a .
Passo 3
Supondo que seja uma função tal que , vamos analisar os limites dessa expressão. Sabemos que é sempre não negativo, já que qualquer número elevado a uma potência ímpar mantém o sinal do número original, mas o valor absoluto garante que seja positivo ou zero.
Passo 4
Agora, observe que para todo . Portanto, temos que:
No entanto, o exercício pede . Para que isso seja verdade, precisamos considerar a possibilidade de ser negativo também.
Passo 5
Se puder ser negativo, então a expressão completa engloba tanto valores positivos quanto negativos de , mas ainda assim limita o valor absoluto de por .
Passo 6
Para verificar essa desigualdade, podemos usar a propriedade do valor absoluto que diz que é equivalente a . Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 7
Portanto, com base nas propriedades das desigualdades e do valor absoluto, conseguimos mostrar que para todo , conforme solicitado.