0 . (Sugestão: Verifique que .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que para todo . Isso está relacionado ao conteúdo de funções e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo valores absolutos e aplicar propriedades de desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Para facilitar, vamos supor que a função está definida de uma forma que nos permite simplificar essa fração. Geralmente, deve ser uma função que, ao dividir por , nos dá algo relacionado a .

Passo 3

Supondo que seja uma função tal que , vamos analisar os limites dessa expressão. Sabemos que é sempre não negativo, já que qualquer número elevado a uma potência ímpar mantém o sinal do número original, mas o valor absoluto garante que seja positivo ou zero.

Passo 4

Agora, observe que para todo . Portanto, temos que:
No entanto, o exercício pede . Para que isso seja verdade, precisamos considerar a possibilidade de ser negativo também.

Passo 5

Se puder ser negativo, então a expressão completa engloba tanto valores positivos quanto negativos de , mas ainda assim limita o valor absoluto de por .

Passo 6

Para verificar essa desigualdade, podemos usar a propriedade do valor absoluto que diz que é equivalente a . Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 7

Portanto, com base nas propriedades das desigualdades e do valor absoluto, conseguimos mostrar que para todo , conforme solicitado.

Resposta

Conseguimos verificar que para todo .

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sendo a função do item (j)
onde
0 . (Observe que )
.