lim x 2 g(x), onde
g(x)= x+2, & se x>2 3-x^2 & se x <= 2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 2 g(x), onde a função g(x) é definida de forma diferente para valores de x maiores que 2 e para valores de x menores ou iguais a 2. Nosso objetivo é encontrar o valor que g(x) se aproxima quando x chega perto de 2. Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, precisamos analisar o que acontece com g(x) quando x se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores de x maiores que 2. A parte da função que vamos usar nesse caso é g(x) = x + 2.

Passo 3

Calculando o limite pela direita:
lim x 2^+ g(x) = lim x 2^+ (x + 2) = 2 + 2 = 4
Isso significa que, quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2, g(x) se aproxima de 4.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores de x menores ou iguais a 2. Nesse caso, usamos a outra parte da função: g(x) = 3 - x^2.

Passo 5

Calculando o limite pela esquerda:
lim x 2^- g(x) = lim x 2^- (3 - x^2) = 3 - (2)^2 = 3 - 4 = -1
Assim, quando x se aproxima de 2 por valores menores ou iguais a 2, g(x) se aproxima de -1.

Passo 6

Para que o limite lim x 2 g(x) exista, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais. No nosso caso, vimos que:
lim x 2^+ g(x) = 4 e lim x 2^- g(x) = -1
Como 4 é diferente de -1, o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim x 2 g(x) não existe porque os limites laterais são diferentes.

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