Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de menos infinito, ou seja,
. Isso faz parte dos estudos de limites no cálculo, especificamente os limites no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando os valores de
ficam muito, muito negativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos dar uma olhada na forma da função
. Dependendo do tipo dela — pode ser um polinômio, uma função racional (que é uma fração de polinômios), exponencial, logarítmica, entre outras — a maneira de calcular o limite muda um pouquinho. Vamos supor que
é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.
Passo 3
Em funções racionais, para achar o limite quando
vai para infinito (positivo ou negativo), a gente compara os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de
presente nele. Por exemplo, na função
, o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2.
Passo 4
Agora, vamos ver as regras para determinar o limite:
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite vai para infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais dos coeficientes principais.
- Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes que estão nos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é zero.
Passo 5
Vamos aplicar isso! Suponha que
, onde:
-
é o grau do numerador, -
é o grau do denominador, -
e são os coeficientes principais (os que acompanham o termo de maior grau).
Dependendo de como
e
se comparam, usamos as regras que mencionei no passo anterior para encontrar o limite.
Passo 6
Vamos fazer um exemplo prático para fixar a ideia. Imagine que
. Aqui, o grau do numerador (
) é igual ao do denominador (
). Assim, o limite quando
vai para menos infinito será a razão dos coeficientes principais:
Resposta
Então, seguindo esses passos, conseguimos determinar que o limite da função
quando
se aproxima de menos infinito depende dos graus dos polinômios no numerador e no denominador. Se eles forem iguais, como no exemplo que fizemos, o limite será a razão dos coeficientes principais.
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A função
é contínua em
? Justifique a sua resposta.
Esboce o gráfico da função real
, dada por
.