lim x -infty f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar o limite da função f(x) quando x se aproxima de menos infinito, ou seja, lim x -infty f(x). Isso faz parte dos estudos de limites no cálculo, especificamente os limites no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando os valores de x ficam muito, muito negativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos dar uma olhada na forma da função f(x). Dependendo do tipo dela — pode ser um polinômio, uma função racional (que é uma fração de polinômios), exponencial, logarítmica, entre outras — a maneira de calcular o limite muda um pouquinho. Vamos supor que f(x) é uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 3

Em funções racionais, para achar o limite quando x vai para infinito (positivo ou negativo), a gente compara os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de x presente nele. Por exemplo, na função 3x^2 + 2x + 1x^2 - 5x + 4, o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2.

Passo 4

Agora, vamos ver as regras para determinar o limite:
  1. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite vai para infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais dos coeficientes principais.
  2. Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes que estão nos termos de maior grau.
  3. Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é zero.

Passo 5

Vamos aplicar isso! Suponha que f(x) = ax^n + dotsbx^m + dots, onde:
  • n é o grau do numerador,
  • m é o grau do denominador,
  • a e b são os coeficientes principais (os que acompanham o termo de maior grau).
Dependendo de como n e m se comparam, usamos as regras que mencionei no passo anterior para encontrar o limite.

Passo 6

Vamos fazer um exemplo prático para fixar a ideia. Imagine que f(x) = 2x^3 + x + 5x^3 - 4x^2 + 3. Aqui, o grau do numerador ( n = 3) é igual ao do denominador ( m = 3). Assim, o limite quando x vai para menos infinito será a razão dos coeficientes principais:
lim x -infty f(x) = 21 = 2

Resposta

Então, seguindo esses passos, conseguimos determinar que o limite da função f(x) quando x se aproxima de menos infinito depende dos graus dos polinômios no numerador e no denominador. Se eles forem iguais, como no exemplo que fizemos, o limite será a razão dos coeficientes principais.

Exercícios relacionados