Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
integralC F cdot d s
onde:
F(x, y, z)=x^2 y i+13 x^3 j+x y k, e C é a interseção do paraboloide hiperbólico z=y^2-x^2 e o cilíndro x^2+y^2=1, orientada em sentido antihorário vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial envolvendo o Teorema de Stokes. O que a gente precisa fazer é calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha a uma integral de superfície. Vamos precisar entender o campo vetorial dado, a curva que é a interseção entre um paraboloide hiperbólico e um cilindro, e como aplicar o teorema para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
ointC F cdot ds = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Ou seja, a integral de linha do campo ao longo da curva é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . Isso facilita porque muitas vezes a integral de superfície é mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F(x, y, z) = x^2 y i + 13 x^3 j + x y k :
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Precisamos calcular o rotacional de , que é . A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente partial Fzpartial y = partial (x y)partial y = x :
partial Fypartial z = partial ( 13 x^3 )partial z = 0
i: x - 0 = x
Então,
partial Fxpartial z = partial (x^2 y)partial z = 0
  1. Componente partial Fzpartial x = partial (x y)partial x = y :
j: 0 - y = -y
partial Fypartial x = partial ( 13 x^3 )partial x = x^2
Então,
partial Fxpartial y = partial (x^2 y)partial y = x^2
  1. Componente k: x^2 - x^2 = 0 :
nabla times F = x i - y j
Então,
Portanto, o rotacional de é:

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja a curva . A curva é a interseção do paraboloide hiperbólico com o cilindro . Para simplificar, vamos escolher o disco no plano que está dentro do cilindro , já que essa superfície é mais fácil de trabalhar e está limitada por .

Passo 6

Precisamos agora parametrizar a superfície escolhida x = r cos theta . Como escolhemos o disco no plano y = r sin theta , podemos usar coordenadas polares para facilitar:
z = 0
Com e .

Passo 7

Vamos determinar o vetor normal dS = k , dA para a superfície . Como está no plano , o vetor normal é simplesmente . Porém, precisamos levar em conta a orientação da curva . Como está orientada no sentido anti-horário vista de cima, o vetor normal também deve apontar para cima, ou seja, na direção de .
Então,
Onde é o elemento de área na superfície.

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointC F cdot ds = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Substituindo o que já encontramos:
integral duplaS (x i - y j) cdot k , dA
Como (nabla times F) cdot dS = 0 e , temos:

Passo 9

Isso significa que a integral de superfície é zero:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = 0
Portanto, a integral de linha também é zero:
ointC F cdot ds = 0

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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