Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
, e
é a interseção do paraboloide hiperbólico
e o cilíndro
, orientada em sentido antihorário vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial envolvendo o Teorema de Stokes. O que a gente precisa fazer é calcular uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha a uma integral de superfície. Vamos precisar entender o campo vetorial dado, a curva
que é a interseção entre um paraboloide hiperbólico e um cilindro, e como aplicar o teorema para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de linha do campo
ao longo da curva
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
. Isso facilita porque muitas vezes a integral de superfície é mais fácil de calcular.
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial
:
Precisamos calcular o rotacional de
, que é
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
Então,
- Componente
:
Então,
- Componente
:
Então,
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja a curva
. A curva
é a interseção do paraboloide hiperbólico
com o cilindro
. Para simplificar, vamos escolher o disco no plano
que está dentro do cilindro
, já que essa superfície é mais fácil de trabalhar e está limitada por
.
Passo 6
Precisamos agora parametrizar a superfície escolhida
. Como escolhemos o disco no plano
, podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Com
e
.
Passo 7
Vamos determinar o vetor normal
para a superfície
. Como
está no plano
, o vetor normal é simplesmente
. Porém, precisamos levar em conta a orientação da curva
. Como
está orientada no sentido anti-horário vista de cima, o vetor normal também deve apontar para cima, ou seja, na direção de
.
Então,
Onde
é o elemento de área na superfície.
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Substituindo o que já encontramos:
Como
e
, temos:
Passo 9
Isso significa que a integral de superfície é zero:
Portanto, a integral de linha também é zero:
Resposta
A integral de linha
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
. Calcule
O valor médio de
em
é
.
Sendo
continua e
, então