Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p=L. Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função definida em todos os números reais ( ) e um número real específico . A gente sabe que o limite . Esse problema está ligado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar entender a definição de derivada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função f'(p) = limx p f(x) - f(p)x - p em um ponto , denotada por , é definida exatamente por esse limite:
Ou seja, a derivada mede a taxa de variação da função em relação a no ponto .

Passo 3

Nesse exercício, já nos foi dado que esse limite é igual a . Portanto, estamos praticamente diante da definição da derivada. Basta comparar o que foi dado com a definição.

Passo 4

Como temos:
limx p f(x) - f(p)x - p = L
E sabemos que:
f'(p) = limx p f(x) - f(p)x - p
Podemos concluir diretamente que .

Resposta

A derivada de no ponto é , ou seja, .

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