Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função
definida em todos os números reais (
) e um número real específico
. A gente sabe que o limite
. Esse problema está ligado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial. Vamos precisar entender a definição de derivada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função
em um ponto
, denotada por
, é definida exatamente por esse limite:
Ou seja, a derivada mede a taxa de variação da função
em relação a
no ponto
.
Passo 3
Nesse exercício, já nos foi dado que esse limite é igual a
. Portanto, estamos praticamente diante da definição da derivada. Basta comparar o que foi dado com a definição.
Passo 4
Como temos:
E sabemos que:
Podemos concluir diretamente que
.
Resposta
A derivada de
no ponto
é
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
, e
é a interseção do paraboloide hiperbólico
e o cilíndro
, orientada em sentido antihorário vista de cima.
O valor médio de
em
é
.