lim x infty(1+ax)^x, onde a é um número real fixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de (1+ax)^x quando x tende ao infinito, onde a é um número real fixo. Esse tipo de problema está ligado ao conteúdo de Limites, mais especificamente aos limites que envolvem expressões exponenciais. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da constante matemática e e como ela se relaciona com esse tipo de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a constante e. Ela é definida pelo limite:
e = limn to infty (1 + 1n)^n
Esse limite nos mostra como uma expressão do tipo (1 + 1n)^n se comporta conforme n cresce sem limites.

Passo 3

Agora, observando o nosso limite original:
limx to infty (1 + ax)^x
Perceba que se compararmos com a definição de e, temos algo muito parecido, mas com ax ao invés de 1n. Isso significa que podemos adaptar a definição de e para resolver o nosso caso.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja n = xa, então quando x tende ao infinito, n também tende ao infinito. Substituindo na expressão:
(1 + ax)^x = (1 + 1n)^a n
Isso fica parecido com a definição de e, mas agora temos a potência a n.

Passo 5

Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Então, se elevamos ambos os lados à potência a, temos:
limn to infty (1 + 1n)^a n = e^a
Isso porque quando multiplicamos o expoente por a, o resultado do limite também é elevado à potência a.

Resposta

O limite é e^a.

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