, onde
são numeros reais diferentes de zero.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
, onde
e
são números reais diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente sobre o comportamento da tangente próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante: quando
está muito perto de 0, a função tangente se comporta de maneira simplificada. Mais especificamente,
é aproximadamente igual a
quando
é pequeno. Em termos matemáticos, temos que:
Isso significa que podemos substituir
por
quando estamos calculando limites perto de zero.
Passo 3
Aplicando esse conhecimento à nossa expressão original, vamos substituir
por
e
por
, já que
e
também tendem a zero quando
tende a zero. Assim, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração
. Observamos que o
no numerador e no denominador se cancela, ficando apenas:
Passo 5
Como simplificamos a expressão para
e não há mais
envolvido, o limite quando
tende a zero é simplesmente esse valor constante:
Resposta
O limite é igual a
.