, onde são numeros reais diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde e são números reais diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente sobre o comportamento da tangente próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante: quando está muito perto de 0, a função tangente se comporta de maneira simplificada. Mais especificamente, é aproximadamente igual a quando é pequeno. Em termos matemáticos, temos que:
Isso significa que podemos substituir por quando estamos calculando limites perto de zero.

Passo 3

Aplicando esse conhecimento à nossa expressão original, vamos substituir por e por , já que e também tendem a zero quando tende a zero. Assim, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração . Observamos que o no numerador e no denominador se cancela, ficando apenas:

Passo 5

Como simplificamos a expressão para e não há mais envolvido, o limite quando tende a zero é simplesmente esse valor constante:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

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, onde é um número real fixo.
, onde são numeros reais diferentes de zero.
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