lim x (pi2)^+ cos x1-sen x.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento das funções seno e cosseno perto de e ver como isso afeta a expressão do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que está se aproximando de por valores maiores, ou seja, ligeiramente à direita de no círculo trigonométrico.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de e quando está próximo de :
  • próximo de se aproxima de 0, pois .
  • próximo de se aproxima de 1, já que .

Passo 4

Agora, substituindo esses comportamentos na expressão do limite:
cos x1 - sin x approx 01 - 1 = 00
Isso nos dá uma indeterminação, então precisamos usar outra técnica para resolver, como a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, diferenciamos o numerador e o denominador em relação a lim x (pi2)^+ cos x1-sin x = lim x (pi2)^+ -sin x-cos x = lim x (pi2)^+ sin xcos x :

Passo 6

A expressão é igual a . Sabemos que tende a quando se aproxima de pela direita.

Resposta

lim x (pi2)^+ cos x1-sin x = +infty

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