.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento das funções seno e cosseno perto de e ver como isso afeta a expressão do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que está se aproximando de por valores maiores, ou seja, ligeiramente à direita de no círculo trigonométrico.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de e quando está próximo de :
  • próximo de se aproxima de 0, pois .
  • próximo de se aproxima de 1, já que .

Passo 4

Agora, substituindo esses comportamentos na expressão do limite:
Isso nos dá uma indeterminação, então precisamos usar outra técnica para resolver, como a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, diferenciamos o numerador e o denominador em relação a :

Passo 6

A expressão é igual a . Sabemos que tende a quando se aproxima de pela direita.

Resposta

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, onde é um número real fixo.
.
, onde são numeros reais diferentes de zero.
, onde são numeros reais diferentes de zero.