lim x infty 2 x+5raiz2 x^2-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites no cálculo diferencial, especificamente quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o termo de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador, dentro da raiz quadrada, o termo de maior grau é .

Passo 3

Agora, para simplificar, vamos fatorar o 2x + 5raiz2x^2 - 5 = x(2 + 5x)xraiz2 - 5x^2 do numerador e o do denominador. Isso ajuda a ver como os termos se comportam quando cresce muito.

Passo 4

Perceba que o x(2 + 5x)xraiz2 - 5x^2 = 2 + 5xraiz2 - 5x^2 no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando 2 + 0raiz2 - 0 = 2raiz2 tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • também tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:

Passo 6

Para simplificar 2raiz2 times raiz2raiz2 = 2raiz22 = raiz2 , multiplicamos o numerador e o denominador por :

Resposta

O limite é .

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