Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite quando
tende ao infinito da função
. Isso envolve conceitos de limites no infinito e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta e como comparar o crescimento do numerador e do denominador.
Passo 2
Vamos começar analisando o numerador,
. Sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, independentemente de quanto
cresça,
sempre estará limitado nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador,
. Para valores muito grandes de
, o termo
domina o +1, então
aproximadamente se comporta como
. Como estamos indo para o infinito positivo, podemos simplificar para
.
Passo 4
Então, nossa expressão original
pode ser aproximada por
quando
tende ao infinito. Agora, temos
.
Passo 5
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1. Então,
vai estar entre
e
. À medida que
cresce, tanto
quanto
tendem a 0.
Passo 6
Pelo “Teorema do Sandwich” ou “Teorema da Aperto”, se uma função está entre duas outras que convergem para o mesmo limite, ela própria converge para esse limite. Assim,
também tende a 0.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
(1 ponto) Mostre que a série
é convergente.
(1 ponto) Mostre que a série
é divergente.
(2 pontos) A série harmônica
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve er o valor de
para que
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve
seja maior do que 74161939.
(2 pontos) Encontre a série de Taylor da função
em torno do ponto
.