Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando tende ao infinito da função . Isso envolve conceitos de limites no infinito e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta e como comparar o crescimento do numerador e do denominador.

Passo 2

Vamos começar analisando o numerador, . Sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que, independentemente de quanto cresça, sempre estará limitado nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, . Para valores muito grandes de , o termo domina o +1, então aproximadamente se comporta como . Como estamos indo para o infinito positivo, podemos simplificar para .

Passo 4

Então, nossa expressão original pode ser aproximada por quando tende ao infinito. Agora, temos .

Passo 5

Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então, vai estar entre e . À medida que cresce, tanto quanto tendem a 0.

Passo 6

Pelo “Teorema do Sandwich” ou “Teorema da Aperto”, se uma função está entre duas outras que convergem para o mesmo limite, ela própria converge para esse limite. Assim, também tende a 0.

Resposta

Portanto, .

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