(2 pontos) A série harmônica
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve sumn=1^infty 1n er o valor de n para que
sn=sumk=1^n 1k
seja maior do que 74161939.

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver um exercício sobre a série harmônica, que é conhecida por ser divergente. O que isso significa é que, conforme somamos mais e mais termos dessa série, a soma não para de crescer. A pergunta aqui é estimar qual valor de precisamos para que a soma parcial seja maior que 74.161.939. Para isso, vamos precisar entender como a série harmônica cresce e usar logaritmos para fazer essa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma dos termos da série harmônica até o termo sn approx ln(n) + gamma pode ser aproximada usando o logaritmo natural. A aproximação é dada por:
onde é a constante de Euler-Mascheroni, aproximadamente igual a 0,5772. Essa fórmula nos ajuda a relacionar a soma com o valor de .

Passo 3

Queremos que ln(n) + gamma > 74.161.939 . Usando a aproximação:
ln(n) > 74.161.939 - gamma approx 74.161.939
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Agora, para isolar n > e^74.161.939 , vamos usar a função exponencial em ambos os lados da inequação:
Aqui, é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Essa expressão nos dá o valor mínimo de que precisamos para que a soma parcial seja maior que 74.161.939. Porém, é importante notar que é um número extremamente grande, muito além da capacidade de cálculo dos computadores atuais e praticamente impossível de escrever na notação decimal comum.

Resposta

Portanto, para que seja maior que 74.161.939, o valor de deve ser maior que , um número enormemente grande.

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