(2 pontos) A série harmônica
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve
er o valor de
para que
seja maior do que 74161939.
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve
Passo 1
Beleza, pessoal! Vamos resolver um exercício sobre a série harmônica, que é conhecida por ser divergente. O que isso significa é que, conforme somamos mais e mais termos dessa série, a soma não para de crescer. A pergunta aqui é estimar qual valor de
precisamos para que a soma parcial
seja maior que 74.161.939. Para isso, vamos precisar entender como a série harmônica cresce e usar logaritmos para fazer essa estimativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma dos termos da série harmônica até o termo
pode ser aproximada usando o logaritmo natural. A aproximação é dada por:
onde
é a constante de Euler-Mascheroni, aproximadamente igual a 0,5772. Essa fórmula nos ajuda a relacionar a soma
com o valor de
.
Passo 3
Queremos que
. Usando a aproximação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Agora, para isolar
, vamos usar a função exponencial em ambos os lados da inequação:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Passo 5
Essa expressão
nos dá o valor mínimo de
que precisamos para que a soma parcial
seja maior que 74.161.939. Porém, é importante notar que
é um número extremamente grande, muito além da capacidade de cálculo dos computadores atuais e praticamente impossível de escrever na notação decimal comum.
Resposta
Portanto, para que
seja maior que 74.161.939, o valor de
deve ser maior que
, um número enormemente grande.
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em torno do ponto
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.